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全国硕士研究生入学统一考试数学二真题2009年
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[单项选择]若f″(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x2+y2=2,则函数f(x)在区间(1,2)内()。
A. 有极值点,无零点
B. 无极值点,有零点
C. 有极值点,有零点
D. 无极值点,无零点
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[简答题]设二次型f(x1,x2,x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3。
(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值;
(Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22,求a的值。
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[简答题]设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy″−y′+2=0。当曲线y=y(x)过原点时,其与直线x=1及y=0围成的平面区域D的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体的体积。
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[单项选择]设函数z=f(x,y)的全微分为dz=xdx+ydy,则点(0,0)()。
A. 不是f(x,y)的连续点
B. 不是f(x,y)的极值点
C. 是f(x,y)的极大值点
D. 是f(x,y)的极小值点
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[填空题]函数y=x2x在区间(0,1]上的最小值为()。