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[简答题]设A为三阶方阵,a为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α.
证明:(Ⅰ) 矩阵B=(α,Aα,A4α)可逆;
(Ⅱ) BTB是正定矩阵.
[简答题]设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α.
证明:(Ⅰ)矩阵B=(α,Aα,A4α)可逆;
(Ⅱ)BTB是正定矩阵.
[简答题]已知2维非零向量x不是2阶方阵A的特征向量.
(1)证明:x,Ax线性无关;
(2)若A2x+Ax-6x=0,求A的特征值并讨论A可否相似对角化.
[填空题]设A为三阶矩阵,E为三阶单位阵,α,β是两个线性无关的三维列向量,且A的行列式|A|=0,Aα=β,Aβ=α,则行列式|A+3E|的值等于
A.0. B.18. C.6. D.24.
[简答题]已知二维非零向量X不是二阶方阵A的特征向量.
证明X,AX线性无关
[简答题]设A是各行元素之和均为0的三阶矩阵,α,β是线性无关的三维列向量,并满足Aα=3β,Aβ=3α.
(Ⅰ)证明矩阵A和对角矩阵相似;
(Ⅱ)如α=(0,-1,1)T,β=(1,0,-1)T,求矩阵A;
(Ⅲ)用配方法化二次型xTAx为标准形,并写出所用坐标变换.
[单项选择]设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中,线性无关的向量组是()。
A. α1+α2,α2+α3,α3-α1
B. α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3
C. α1+2α2,α2+2α3,α3+α1
D. α1+α2,2α2+α3,α1+3α2+α3
[填空题]设三阶方阵A=(α,γ1,γ2),B=(β,γ1,γ2),其中α,β,γ1,γ2均为三维列向量,且|A|=2,|B|=4,则|2A-3B|=______.
[单项选择]已知3阶矩阵A与3维列向量α,若向量组α,Aα,A2α线性无关且A3α=3Aα-2A2α,则矩阵A属于特征值λ=1的特征向量是______
A. A2α+2Aα-3α
B. A2α+3Aα
C. A2α-Aα
D. α
[单项选择]已知三阶矩阵A与三维非零列向量α,若向量组α,Aα,A2α线性无关,而A3α=3Aα-2A2α,那么矩阵A属于特征值λ=-3的特征向量是
A. α.
B. Aα+2α.
C. A2α-Aα.
D. A2α+2Aα-3α.
[简答题]已知三阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x=3Ax-2A2x:
(Ⅰ)记P=(x,Ax,A2x)求三阶矩阵B,使得A=PBP-1;
(Ⅱ)计算行列式|A+E|。
[简答题]已知三阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x=3Ax-2A2x。
计算行列式|A+E|。
[简答题]已知三阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x=3Ax-2A2x。
记P=(x,Ax,A2x)求三阶矩阵B,使得A=PBP-1;
[简答题]已知3阶矩阵A与3维列向量α,若α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α,试求矩阵A的特征值与特征向量.