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[填空题]若二次型f(x1,x2,x3)=ax12+4x22+ax32+6x1x2+2x2x3是正定的,则a的取值范围是______.
[单项选择]下列二次型中属于正定二次型的是
(A) f(x1,x2,x3,x4)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x4)2+(x4-x1)2.
(B) f2(x1,x2,x3,x4)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2.
(C) f3(x1,x2,x3,x4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3-x4)2+(x4+x1)2.
(D) f4(x1,x2,x3,x4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2
[单项选择]
二次型f(x1,x2,x3)=ax12+bx22+ax32+2cx1x3为正定二次型的充分必要条件是()。
A. a>0,b+c>0
B. a>0,b>0
C. a>|c|,b>0
D. |a|>c,b>0
[单项选择]二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(2x1+3x2+x3)2-5(x2+x2)2的规范形是
[简答题]已知f(x1,x2,x3,x4)=2x1x2-6x1x3-6x2x4-2x3x4,用正交变换化二次型为标准形,并指出二次型的秩及正负惯性指数.
[简答题]若f(x1,x2,x3)=(ax1+2x2-3x3)2+(x2-2x3)2+(x1+ax2-x3)2是正定二次型,则a的取值范围是______.
[填空题]设二次型f(x1,x2,x3)=(a1x1+b1x2+c1x3)(a2x1+b2x2+c2x3),则二次型的对应矩阵是______.
[单项选择]二次型f(x1,x2,x3)=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x3-8x2x3的规范型是______。
A. f=z12+z22+z32
B. f=z12+z22-z32
C. f=z12-z22
D. f=z12
[简答题]已知f(x1,x2,x3,x4)=x1x2+x2x3+x3x4+x4x1,用配方法化二次型为标准形式,并求所作可逆线性变换及二次型的秩和正、负惯性指数.
[填空题]设二次型2x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+2x
1
x
2
+ax
2
x
3
的秩为2,则a=_________.
[填空题]已知二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=2x12+2x22+ax23+4x1x3+2tx2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=y12+2y22+7y32,则t=______.
[填空题]二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2-X3)2+(x3+x1)2的秩为______.
[填空题]二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为______.
[简答题]x1+2,x2+2,x3+2,…,xn+2的平均数为5.
(1)2x1+1,2x2+1,2x3+1,…,2xn+1的平均值为7;
(2)ax1,ax2,ax3,…,axn的平均数为3(a+1).
[填空题]已知三元二次型
xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2+2ax1x3+2x2x3的秩为2,则其规范形为______.