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全国硕士研究生入学统一考试数学一真题2005年
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[简答题]
已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。
(I)求a的值;
(II)求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形;
(III)求方程f(x1,x2,x3)=0的解。
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[单项选择]设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是()。
A. λ1≠0
B. λ2≠0
C. λ1=0
D. λ2=0
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[单项选择]设A为n(n≥2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B,A*B*分别为A,B的伴随矩阵,则()。
A. 交换A*的第1列与第2列得B*
B. 交换A*的第1行与第2行得B*
C. 交换A*的第1列与第2列得-B*
D. 交换A*的第1行与第2行得-B*
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[填空题]设α1,α2,α3均为3维列向量,记矩阵A=(α1,α2,α3),B=(α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3)。如果∣A∣=1,那么∣B∣=()。
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[简答题]
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1。证明:
(I)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1-ξ;
(II)存在两个不同的点η,ξ∈(0,1),使得f′(η)f′(ξ)=1。
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[单项选择]设有三元方程xy-zlny+exz=1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程()。
A. 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)
B. 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y)
C. 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y)
D. 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z)
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[填空题]从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,…,X中任取一个数,记为Y,则P{Y=2}=()。