[简答题]
已知二次型f（x₁，x₂，x₃）=（1-a）x₁²+（1-a）x₂²+2x₃²+2（1+a）x₁x₂的秩为2。
（I）求a的值；
（II）求正交变换x=Qy，把f（x₁，x₂，x₃）化成标准形；
（III）求方程f（x₁，x₂，x₃）=0的解。

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[简答题]已知二次型f(x₁，x₂，x₃)-(1-a)x²₁+(1-a)x²₂+2x²₃+2(1+a)x₁x₂的秩为2．
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy把f(x₁，x₂，x₃)化为标准形；
(Ⅲ)求方程f(x₁，x₂，x₃)=0的解．

[填空题]二次型f（x₁，x₂，x₃，x₄）=x₁x₂+x₂x₃+x₃x₄x+5x₄²所对应的对称矩阵是（）.

[简答题]求正交变换x=Py，将二次型f（x₁，x₂）=3x₁²-2x₁x₂+3x₂²化为标准形，并指出f是否为正定二次型.

[填空题]二次型x^TAx=x²₁+4x²₂+4x²₃-4x₁x₂+4x₁x₃-8x₂x₃的规范形是 ______.

[简答题]已知目标函数f（X）=2x₁²+2x₁x₂+6x₂²+2x₁+3x₂+3和一个方向S^（1）=[1，0]^T，试求共轭于S^（1）的另一个方向。

[简答题]

已知不等式约束优化问题
min f（X）=x₂+x₁
g₁（X）=-x₁²+x₂≤0
g₂（X）=x₁≤0
（1）试写出该问题的内点罚函数和外点罚函数；
（2）说明各惩罚因子如何选取；
（3）说明各初始点如何选取。

[单项选择]已知x₁，x₂是关于x的方程x²-kx+5（k-5）=0的两个正实数根，且满足2x₁+x₂=7，则实数k的值为（）。
A. 2
B. 6
C. 8
D. 2或6
E. 2或8

[单项选择]已知定点小数x的补码为1.x₁x₂x₃，且x≤-0.75，则必有______。
A. x₁=1，x₂=0，x₃=1
B. x₁=1
C. x₁=0，且x₂，x₃不全为1
D. x₁=0，x₂=0，x₃=0

[单项选择]已知x²-2x-1=0，则2001x³-6003x²+2001x-8=（）。
A. -2009
B. 0
C. 1
D. 2009

[多项选择]设X～N(μ，σ2)，均值μ已知，而方差σ2未知，X1，X2，X3为总体X的样本，下列各式是统计量的有( )。
A. X₁+3X₂+σ²
B. X₁+2μ
C. max(X₁，X₂，X₃)
D. (X₂-μ)²/σ

[单项选择]已知f（x）=x³-2x²+ax+b除以x²-x-2的余式为2x+1，则a、b的值是（）。
A. a=1、b=-3
B. a=-3、b=1
C. a=-2、b=3
D. a=1、b=3

[填空题]若f(x₁，x₂,x₃)=(ax₁+2x₂-3x₃)²+(x₂—2x₃)²+(x₁+ax₂-x₃)²是正定二次型，则a的取值范围是______．

[简答题]已知关于x的一元二次方程x²+kx-1=0．是否存在实数k，使得方程的两根分别为x₁，x₂，且满足x₁+x₂=x₁·x₂，若有，求出k的值；若没有，请说明理由．

[简答题]已知f"(x)＜0,f(0)=0，试证：对任意的两个正数x₁和x₂,恒有
f(x₁+x₂)＜f(x₁)+f(x₂)
成立.

[填空题]二次型f（x₁，x₂，x₃）=（x₁+x₂）²+（x₂-x₃）²+（x₃+x₁）²的秩为（）。

[简答题]已知，效用函数U=U(X₁，X₂)连续可导，请证明，在商品X₁，X₂之间存在边际替代率递减关系的条件之一是U₁₁U²₂-2U₁U₂U₁₂+U₂₂U²₁＜0。

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