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[简答题]已知n维向量α1,α2,α3线性无关,且向量β可由α1,α2,α3中的任何两个向量线性表出,证明β=0.
[简答题]已知n维向量组α1,α2,…,αn-1线性无关,非零向量β与αi(i=1,2,…,n-1)正交,证明:i,β线性无关.
[多项选择]已知n维向量α1,α2,α3线性相关,β是任意一个n维向量.
(Ⅰ)证明存在不全为0的五k1,k2,k3使得向量组k1β1+α1,k2β+α2,k3β+α3仍线性相关;
(Ⅱ)当秘α1=(1,3,5,-1)T.α2=(2,-1,-3,4)T,α3=(5,1-1,7)T时,求出昕需要的k1,k2,k3.
[单项选择]设a1,a2,…,an是一组n维向量,已知n维单位坐标向量e1,e2,e3,…,en能由它们线性表示,则a1,a2,a3,…,an()。
A. 线性相关
B. 线性无关
C. 不能断定线性相关还是线性无关
D. 以上结果都不对
[单项选择]已知n维向量组(Ⅰ)α1,α2,…,αs与(Ⅱ)β1,β2,…,βt有相同的秩r,则错误的命题是()。
A. 若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出,则(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出
B. 若秩r(α1,…,αs,β1,…,βt)=r,则(Ⅰ)与(Ⅱ)可互相线性表出
C. 若s=t,则向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价
D. 若r=n,则向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价
[简答题]设3维向量组α1,α2线性无关,β1,β2线性无关.
1.证明:存在非零3维向量ξ,ξ可由α1,α2线性表出,也可由β1,β2线性表出.
[简答题]已知α1,α2,α3是非齐次线性方程组3个不同的解,证明:
(Ⅰ)α1,α2,α3中任何两个解向量均线性无关;
(Ⅱ)如果α1,α2,α3线性相关,则α1-α2,α1-α3线性相关.
[简答题]已知α1,α2,α3是非齐次线性方程组3个不同的解,证明:
(Ⅰ) α1,α2,α3中任何两个解向量均线性无关;
(Ⅱ) 如果α1,α2,α3线性相关,则α1-α2,α1-α3线性相关.
[单项选择]设α1、α2、α3线性无关,则()也线性无关。
A. α1+α2、α2+α3、α3-α1
B. α1+α2、α2+α3、α1+2α2+α3
C. α1+2α2、22α2+3α3、3α3+α1
D. α1+α2+α3、2α1-3α2+22α3、3α1+5α2-5α3
[单项选择]设α1,α2,α3,α4线性无关,则()线性无关。
A. α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1
B. α1+α2,α2+α3,α3+α4,α3-α4
C. α1,α1+α2,α1+α2+α3,α1+α2+α3+α4,α4+α1
D. α1-α2,α2-α3,α3-α4,α4-α1
[单项选择]设向量组α1,α2,α3线性无关,则线性无关的向量组是()。
A. α1-α2,α3-α1,α2-α3
B. α1-α2,2α2+3α3,α1+α3
C. α1-α2,2α2+α3,α1+α2+α3
D. α1-α2+α3,2α1+α2-3α3,8α1+α2-7α3
[单项选择]设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中线性无关的是()。
A. α1+α2,α2+α3,α3-α1
B. α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3
C. α1+2α2,2α2+3α3,3α3+α1
D. α1+α2+α3,2α1-3α2+22α3,3α1+5α2-5α3
[简答题]设向量组β1,β2,…,βs可由α1,α2,…,αs线性表示,且β1,β2,…,βs线性无关,证明:向量组α1,α2,…,αs与向量组β1,β2,…,βs等价.
[单项选择]设A是3阶不可逆矩阵,E是3阶单位矩阵。若齐次线性方程组(A-3E)x=0的基础解系由两个线性无关的解向量构成,则行列式|A+E|=()。
A. 16
B. 8
C. 4
D. 2
[单项选择]设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中,线性无关的向量组是()。
A. α1+α2,α2+α3,α3-α1
B. α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3
C. α1+2α2,α2+2α3,α3+α1
D. α1+α2,2α2+α3,α1+3α2+α3
[单项选择]已知向量α,β,γ线性无关,则k≠1是α+kβ,β+kγ,α+γ线性无关的
A. 充分不必要条件.
B. 必要不充分条件。
C. 充分必要条件.
D. 无关条件.
[单项选择]设φ1(x),φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解,则该方程的通解为______。
A. C[φ1(x)+φ2(x)]
B. C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)]
C. C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)]
D. [φ1(x)-φ2(x)]+Cφ2(x)]