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[单项选择]
设向量组Ⅰ:α1,α2,…,αr可由向量组Ⅱ:β1,β2,…,βs线性表示,则( )
A. 当r<s时,向量组Ⅱ必线性相关
B. 当r>s时,向量组Ⅱ必线性相关
C. 当r<s时,向量组Ⅰ必线性相关
D. 当r>s时,向量组Ⅰ必线性相关
[简答题]
设向量α=(a1,a2,…an)T,β=(b1,b2,…bn)T都是非零向量,且满足条件αTβ=0,记n阶矩阵A=αβT.求:(Ⅰ)A2.(Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量.
[简答题]
设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTβ=0,记n阶矩阵A=αβT.求:
矩阵A的特征值和特征向量。
[单项选择]设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表示,但不能由向量组(Ⅰ)α1,α2,…,αm-1线性表示,记向量组(Ⅱ)α1,α2,…,αm-1,β,则()。
A. αm不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示
B. αm不能由(Ⅰ)线性表示,但可能由(Ⅱ)线性表示
C. αm可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示
D. αm可由(Ⅰ)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示
[单项选择]设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αm-1线性表示,记向量组(Ⅱ):α1,α2,…,αm-1,β,则()。
A. αm不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示
B. αm不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示
C. αm可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示
D. αm可由(Ⅰ)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示
[单项选择]设向量组Ⅰ:a1,a2,…,ar,可由向量组Ⅱ:β1,β2,…,β5线性表示,下列命题正确的是______
A. 若向量组Ⅰ线性无关,则r≤s.
B. 若向量组Ⅰ线性相关,则r>s.
C. 若向量组Ⅱ线性无关,则r≤s.
D. 若向量组Ⅱ线性相关,则r>s.
[单项选择]设向量组(Ⅰ)是向量组(Ⅱ)的线性无关的部分向量组,则
(A) 向量组(Ⅰ)是向量组(Ⅱ)的极大线性无关组.
(B) 向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)的秩相等.
(C) 当向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示时,向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价.
(D) 当向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅰ)线性表示时,向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价.
[简答题]
设α1,α2,…,αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系:
β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,…,βs=t1αs+t2α1,其中t1,t2为实常数.试问t1,t2满足什么关系时,β1,β2,…,βs也为Ax=0的一个基础解系.
[单项选择]设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中,线性无关的向量组是()。
A. α1+α2,α2+α3,α3-α1
B. α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3
C. α1+2α2,α2+2α3,α3+α1
D. α1+α2,2α2+α3,α1+3α2+α3
[简答题]设向量组α
1
,α
2
,…,α
n一1
为n维线性无关的列向量组,且与非零向量β
1
,β
2
正交.证明:β
1
,β
2
线性相关.
[简答题]设向量组
(Ⅰ) α1,α2,…,αs和(Ⅱ) β1,β2,…,βs,如果(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出,且秩r(Ⅰ)=r(Ⅱ),证明(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出.
[简答题]设向量组β1,β2,…,βs可由α1,α2,…,αs线性表示,且β1,β2,…,βs线性无关,证明:向量组α1,α2,…,αs与向量组β1,β2,…,βs等价.
[单项选择]设向量组α1,α2,α3线性无关,则线性无关的向量组是()。
A. α1-α2,α3-α1,α2-α3
B. α1-α2,2α2+3α3,α1+α3
C. α1-α2,2α2+α3,α1+α2+α3
D. α1-α2+α3,2α1+α2-3α3,8α1+α2-7α3
[单项选择]设向量函数A(t)={2cost,sint,t},则导数向量为()。
A. {-2sint,cost,1}
B. {2sint,cost,1}
C. {-2sint,sint,1}
D. {-2cost,sint,1}
[单项选择]设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中线性无关的是()。
A. α1+α2,α2+α3,α3-α1
B. α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3
C. α1+2α2,2α2+3α3,3α3+α1
D. α1+α2+α3,2α1-3α2+22α3,3α1+5α2-5α3
[单项选择]设向量组α1,α2,…,αs(s≥2)线性无关,向量组β1,β2,…,βs能线性表示向量组α1,α2,…,αs,则下列结论中不能成立的是
(A) 向量组β1,β2,…,βs线性无关.
(B) 对任一个αj(1≤j≤s),向量组β1,β2,…,βs线性相关.
(C) 存在一个αj(1≤j≤s),使得向量组β1,β2,…,βs线性无关.
(D) 向量组α1,α2,…,αs与向量组β1,β2,…,βs等价.
[单项选择]设向量组α1,α2,…,αs的秩为r1,向量组β1,β2,…,βt的秩为r2,且向量组α1,α2,…,αs可由向量组β1,β2,…,βt线性表出,则
(A) r1≥r2. (B) r1=r2.
(C) r1≤r2. (D) r1<r2.
[单项选择]设向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αs的秩为r1,向量组(Ⅱ):β1,β2,…,βs的秩为r2,且向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅰ)线性表示,则______。
A. α1+β1,α2+β2,…,αs+βs的秩为r1+r2
B. 向量组α1-β1,α2-β2,…,αs-βs的秩为r1-r2
C. 向量组α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βs的秩为r1+r2
D. 向量组α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βs的秩r1