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[简答题]
设A为m阶实对称矩阵，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B) =n．
[简答题]设A为n×n实对称矩阵，证明：r(A) =n的充分必要条件是存在n×n实矩阵B，使得AB+BTA正定，其中BT为B的转置．
[简答题]设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n阶实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)=n．
[单项选择]设A为m×n实矩阵，r(A)=n，则
(A) ATA必合同于n阶单位矩阵． (B) AAT必等价于m阶单位矩阵．
(C) ATA必相似于n阶单位矩阵． (D) AAT是m阶单位矩阵．
[填空题]已知A是3阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，如果矩阵A的特征值是1，2，3，那么矩阵(A*)*的最大特征值是（）.
[简答题]设A为n阶正定矩阵，B为n×m矩阵，试证：
(Ⅰ)r(B)=r(BTAB)：
(Ⅱ)BTAB正定的充分必要条件为r(B)=m．
[单项选择]设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P
一1
AP)
T
属于特征值λ的特征向量是( )
A. P
一1
α。
B. P
T
α。
C. Pα。
D. (P
一1
)
T
α。
[单项选择]已知A是n阶可逆矩阵，那么与A有相同特征值的矩阵是
A. AT．
B. A2．
C. A-1．
D. A-Ｅ．
[单项选择]已知A是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A*的特征值是1，-1，2，4，那么不可逆矩阵是
A. A-Ｅ．
B. 2A-Ｅ．
C. A+2Ｅ．
D. A-4Ｅ.
[单项选择]已知A=(aij)为3阶矩阵，ATA=E(AT是A的转置矩阵，E是单位矩阵，若aij=-1，b=(1，0，0)T，则方程组AX=b的解X=（）。
A. (-1，1，0)T
B. (-1，0，1)T
C. (-1，-1，0)T
D. (-1，0，0)T
[简答题]已知3阶矩阵A有三个互相正交的特征向量，证明A是对称矩阵．
[填空题]已知A是四阶实对称矩阵，秩r(A)=3，矩阵A满足A4-A3-A2-2A=O则与A相似的对角矩阵是______．
[简答题]已知矩阵A=(aij)n×n的秩为n-1，求A的伴随矩阵A*的特征值和特征向量．
[简答题]设A是m×n矩阵，对矩阵A作初等行变换得到矩阵B，证明矩阵A的列向量与矩阵B相应的列向量有相同的线性相关性．
[简答题]已知A是n阶方阵，AT是A的转置矩阵，
举二阶矩阵的例子说明A和AT的特征向量可以不相同；
[填空题]已知A是四阶实对称矩阵，秩r(A)=3，矩阵A满足A
4
-A
3
-A
2
-2A=0则与A相似的对角矩阵是______．
