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[单项选择]设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，Q为n阶正交矩阵，则下列矩阵与A有相同特征值的是
(A) B-1QTAQB． (B) (B-1)TQTAQB-1．
(C) BTQTAQB． (D) BQTAQ(BT)-1．
[单项选择]n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A与B相似的
A. 充分必要条件．
B. 必要而非充分条件．
C. 充分而非必要条件．
D. 既非充分也非必要条件．
[单项选择]已知A是n阶可逆矩阵，那么与A有相同特征值的矩阵是
A. AT．
B. A2．
C. A-1．
D. A-Ｅ．
[单项选择]n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )
A. 充分必要条件。
B. 必要而非充分条件。
C. 充分而非必要条件。
D. 既非充分也非必要条件。
[单项选择]设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P
一1
AP)
T
属于特征值λ的特征向量是( )
A. P
一1
α。
B. P
T
α。
C. Pα。
D. (P
一1
)
T
α。
[简答题]
1.设A，B是n阶矩阵，A有特征值λ=1，2，…，n．证明：AB和BA有相同的特征值，且AB～BA；
[单项选择]设A为n阶矩阵，则下列结论正确的是
(A) 矩阵A有n个不同的特征值．
(B) 矩阵A与AT有相同的特征值和特征向量．
(C) 矩阵A的特征向量α1，α2的线性组合c1α1+c2α2仍是A的特征向量．
(D) 矩阵A对应于不同特征值的特征向量线性无关．
[单项选择]设λ是n阶可逆矩阵A的一个特征值，则伴随矩阵A*的一个特征值是( )。
A. ( λ-1
B. ( λ-1
C. ( λ
D. ( λ
[单项选择]n阶矩阵A有n个不同的特征值是A与对角阵相似的( )。
A. ( 充分必要条件
B. ( 充分但非必要条件
C. ( 必要但非充分条件
D. ( 既非充分又非必要条件
[简答题]设A是n阶矩阵，λ是A的特征值，其对应的特征向量为X，证明：λ
2
是A
2
的特征值，X为特征向量．若A
2
有特征值λ，其对应的特征向量为X，X是否一定为A的特征向量说明理由．
[简答题]设A，B为两个n阶矩阵，且A的n个特征值两两互异.若A的特征向量恒为B的特征向量，则AB=BA。
[单项选择]n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是
(A) A有n个相异的特征值．
(B) AT有n个相异的特征值．
(C) A有n个相异的特征向量．
(D) A的任一特征值的重数与其对应的线性无关特征向量的个数相同．
[填空题]设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量，则矩阵B=A-λ1ααT的两个特征值为______．
[单项选择]设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )
A. λE一A=λE—B。
B. A与B有相同的特征值和特征向量。
C. A和B都相似于一个对角矩阵。
D. 对任意常数t，tE一A与tE一B相似。
[简答题]设A，P为n阶矩阵，P可逆，且AP=PA，证明：
若A有n个不同的特征值，α是A的特征向量，则α也是P的特征向量。
[简答题]设A是n阶矩阵，A=E+αβT，其中α，β都是n维列向量，且αTβ=3，求A的特征值，特征向量．
[单项选择]设λ1，λ2是n阶矩阵A的特征值，α2，α2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，则
(A) 当λ1=λ2时，α1与α2必成比例．
(B) 当λ1=λ2时，α1与α2必不成比例．
(C) 当λ1≠λ2时，α1与α2必成比例．
(D) 当λ1≠λ2时，α1与α2必不成比例．
