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[简答题]若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量,证明A是数量矩阵(即A=kE,层是n阶单位矩阵).
[简答题]若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量,证明A是数量矩阵(即A=kE,E是n阶单位矩阵).
[简答题]设A=E-ξξT,其中E是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.
证明:
A2=A的充分必要条件是ξTξ=1.
[简答题]设A=E-ξξT,其中E是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.
证明:(Ⅰ)A2=A的充分必要条件是ξTξ=1.
(Ⅱ)当ξTξ=1时,A是不可逆矩阵.
[简答题]设A=E-ξξT,其中E是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.
证明:
当ξTξ=1时,A是不可逆矩阵.
[简答题]设A=(aij)n×n,若任意12维非零列向量都是A的特征向量,请证明:A为数量矩阵,即存在常数k,使A=kE.
[多项选择]设A=(aij)n×n,若任意n维非零列向量都是A的特征向量,请证明:A为数量矩阵,即存在常数k,使A=kE.
[简答题]已知A是3阶矩阵,αi(i=1,2,3)是3维非零列向量,若Aαi=iαi(i=1,2,3),令
α=α1+α2+α3.
(Ⅰ) 证明:α,Aα,A2α线性无关;
(Ⅱ) 设P=(α,Aα,A2α),求P-1AP.
[简答题]已知三阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x=3Ax-2A2x:
(Ⅰ)记P=(x,Ax,A2x)求三阶矩阵B,使得A=PBP-1;
(Ⅱ)计算行列式|A+E|。
[简答题]设A是n阶矩阵,证明:
r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α,β,使得A=αβT;
[简答题]设A是n阶矩阵,证明:
(Ⅰ) r(A)=1的充分必要条件是存在行阶非零列向量α,β,使得A=αβT;
(Ⅱ) r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.