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[简答题]若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量,证明A是数量矩阵(即A=kE,E是n阶单位矩阵).
[单项选择]已知三阶矩阵A与三维非零列向量α,若向量组α,Aα,A2α线性无关,而A3α=3Aα-2A2α,那么矩阵A属于特征值λ=-3的特征向量是
A. α.
B. Aα+2α.
C. A2α-Aα.
D. A2α+2Aα-3α.
[多项选择]设A=(aij)n×n,若任意n维非零列向量都是A的特征向量,请证明:A为数量矩阵,即存在常数k,使A=kE.
[简答题]设A是n阶矩阵,证明:
r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α,β,使得A=αβT;
[简答题]设A是n阶矩阵,证明:
(Ⅰ) r(A)=1的充分必要条件是存在行阶非零列向量α,β,使得A=αβT;
(Ⅱ) r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.
[填空题]设α,β都是n维非零列向量,矩阵A=2E-αβT,其中E是n阶单位矩阵.若A2=A+2E,则αTβ=______.
[简答题]设A是n阶矩阵,证明:
1.r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α,β,使得A=αβT;
[简答题]已知A是3阶矩阵,αi(i=1,2,3)是3维非零列向量,若Aαi=iαi(i=1,2,3),令α=α1+α2+α3.
(Ⅰ)证明:α,Aα,A2α线性无关;
(Ⅱ)设P=(α,Aα,A2α),求P-1AP.
[简答题]设A=E-ξξT,其中E是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.
证明:
A2=A的充分必要条件是ξTξ=1.
[简答题]设A=E-ξξT,其中E是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.
证明:
当ξTξ=1时,A是不可逆矩阵.
[简答题]
设A=E-ξξT,其中E为n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置。
证明:(1)A2=A的充要条件是ξTξ=1;
(2)当ξTξ=1时,A是不可逆矩阵.
[简答题]设A=(aij)n×n,若任意12维非零列向量都是A的特征向量,请证明:A为数量矩阵,即存在常数k,使A=kE.
[单项选择]设A是n阶矩阵,α1,α2,…,αs是一组n维向量,βi=Aαi,i=1,2,…,s.则()成立。
A. 如果α1,α2,…,αs线性无关,则β1,β2,…,βs,也线性无关·
B. r(β1,β2,…,βs)=r(α1,α2,…,αs)
C. 如果A不可逆,则r(α1,α2,…,αs)>r(β1,β2,…,βs)
D. 如果r(α1,α2,…,αs)>r(β1,β2,…,βs),则A不可逆