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[简答题]设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．
[简答题]已知A与B均为n阶正定矩阵，证明AB是正定矩阵的充分必要条件是AB=BA．
[简答题]设A是n阶正定矩阵，证明：｜E+A｜＞1．
[简答题]设A，B都是n阶正定矩阵，P为n×m矩阵，证明：PT(A+B)P正定的充分必要条件是r(P)=m．
[单项选择]已知A，B均为n阶正定矩阵，则下列结论不正确的是
(A) A+B，A-B，AB是正定矩阵．
(B) AB的特征值全大于零．
(C) 若AB=BA，则AB是正定矩阵．
(D) 对任意正常数k与l，kA+lB为正定矩阵．
[简答题]设A为n阶正定矩阵，B为n×m矩阵，试证：
(Ⅰ)r(B)=r(BTAB)：
(Ⅱ)BTAB正定的充分必要条件为r(B)=m．
[简答题]设A是n阶正定矩阵，α1，α2，α3是非零的n维列向量，且[*]．证明α1，α2，α3线性无关．
[简答题]设A是n阶实对称矩阵，证明秩r(A)=n的充分必要条件是存在n阶矩阵B，使AB+BTA是正定矩阵．
[简答题]设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n阶实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)=n．
[简答题]设A是n阶正定阵，B是n阶反对称阵，证明A-B2是可逆矩阵．
[单项选择]设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，Q为n阶正交矩阵，则下列矩阵与A有相同特征值的是
(A) B-1QTAQB． (B) (B-1)TQTAQB-1．
(C) BTQTAQB． (D) BQTAQ(BT)-1．
[简答题]若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=kE，E是n阶单位矩阵).
[简答题]若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=kE，层是n阶单位矩阵)．
[单项选择]设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )
A. λE一A=λE—B。
B. A与B有相同的特征值和特征向量。
C. A和B都相似于一个对角矩阵。
D. 对任意常数t，tE一A与tE一B相似。
[单项选择]设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )．
A. λE－A＝λE－B
B. A与B有相同的特征值和特征向量
C. A与B都相似于一个对角矩阵
D. 对任意常数t，tE－A与tE－B相似
