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[简答题]已知向量组β1=[0,1,-1]T,β2=[a,2,1]T,β3=[b,1,0]T与向量组α1=[1,2,-3]T,α2=[3,0,1]T,α3=[9,6,-7]T具有相同的秩,且α1,α2,α3可由β3线性表出,求a,b的值.
[单项选择]已知向量组α,β,γ线性无关,则k≠1是向量组α+kβ,β+kγ,α-γ线性无关的()。
A. 充分必要条件
B. 充分条件,但非必要条件
C. 必要条件,但非充分条件
D. 既非充分也非必要条件
[单项选择]已知向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中线性无关的是
(A) α1,3α3,α1-2α2. (B) α1+α2,α2-α3,α3-α1-2α2.
(C) α1,α3+α1,α3-α1. (D) α2-α3,α2+α3,α2.
[填空题]已知向量组α1=(1,2,-1,1)T,α2=(2,0,t,0)T,α3=(0,-4,5,t)T线性无关,则t的取值为______.
[单项选择]已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则下列向量组中,
①α1-α2,α2-α3,α3-α4,α4-α1
②α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1
③α2,α3,α4
④α1+α2,α2+α3,α3+α1
线性无关的向量组共有()。
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
[单项选择]已知向量组α1=(1,2,-1,1)T,α2=(2,0,t,0)T,α3=(0,-4,5,-2)T的秩为2,则t=()。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
[填空题]已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组2α1+α2+α1,α2-α4,α3+α4,α2+α3,2α1+α2-α3的秩为______。
[填空题]已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组2α1+α2+α4,α2-α4,α3+α4,α2+α3,2α1+α2-α2的秩为______。
[单项选择]已知向量组(Ⅰ):α1,α2;(Ⅱ):α1,α2,α3;(Ⅲ):α1,α2,α4.如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=2,r(Ⅲ)=3,则向量组α1,α2,α3-α4的秩为
(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 不能确定.
[单项选择]已知向量组α1,α2,…,αs的秩为r,则()。
A. 必有r<s
B. 向量组中任意r-1个向量线性无关
C. 向量组中任意r个向量线性无关
D. 向量组中任意r+1个向量线性相关
[多项选择]已知向量组α1=(1,1,0,2)T,α2=(-1,0,1,1)T,α3=(2,3,a,7)T,α4=(-1,5,3,a+11)T线性相关,而且向量β=(1,0,2,6)T可由α1,α2,α3,α4线性表出.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)试将β用α1,α2,α3,α4线性表出;
(Ⅲ)求向量组α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组.并将向量组中其余向量用该极大线性无关组线性表出.
[简答题]已知向量组(Ⅰ)α1=(1,3,0,5)T,α2=(1,2,1,4)T,α3=(1,1,2,3)T与向量组(Ⅱ) β1=(1,-3,6,-1)T,β2=(a,0,6,2)T等价,求a,b的值.
[填空题]已知向量组α1=(1,1,1,3)T,α2=(-a,-1,2,3)T,α3=(1,2a-1,3,7)T,α4=(-1,-1,a-1,-1)T的秩为3,则a= ______.
[简答题]设A为三阶方阵,a为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α.
证明:(Ⅰ) 矩阵B=(α,Aα,A4α)可逆;
(Ⅱ) BTB是正定矩阵.
[简答题]设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α.
证明:(Ⅰ)矩阵B=(α,Aα,A4α)可逆;
(Ⅱ) BTB是正定矩阵,
[简答题]
已知向量组(Ⅰ):α1,α2,α3;(Ⅱ):α1,α2,α3,α4;(Ⅲ):α1,α2,α3,α5.如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3,r(Ⅲ)=4.
证明向量组α1,α2,α3,α5-α4的秩为4.
[简答题]已知向量组α1,α2,…,αs线性无关,若
β=l1α1+l2α2+…+lsαs,
其中至少有li≠0,证明用β替换αi后所得向量组α1,…,αi-1,β,αi+1…,αs线性无关.