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[填空题]设A为n阶矩阵,B为n阶非零矩阵,若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解,则|A|=()。
[简答题]若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量,证明A是数量矩阵(即A=kE,E是n阶单位矩阵).
[简答题]设A是n阶矩阵,证明:
1.r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α,β,使得A=αβT;
[简答题]设A是n阶矩阵,证明:
(Ⅰ) r(A)=1的充分必要条件是存在行阶非零列向量α,β,使得A=αβT;
(Ⅱ) r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.
[单项选择]已知齐次线性方程组Ax=0,A为m×n阶矩阵,则方程组Ax=0没有非零解的充分条件是()。
A. A的行向量组线性无关
B. A的行向量组线性相关
C. A的列向量组线性无关
D. A的列向量组线性相关
[填空题]设α,β都是n维非零列向量,矩阵A=2E-αβT,其中E是n阶单位矩阵.若A2=A+2E,则αTβ=______.
[简答题]设A=E-ξξT,其中E是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.
证明:
A2=A的充分必要条件是ξTξ=1.
[简答题]设A=E-ξξT,其中E是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.
证明:
当ξTξ=1时,A是不可逆矩阵.
[简答题]设A=E-ξξT,其中E是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.
证明:(Ⅰ)A2=A的充分必要条件是ξTξ=1.
(Ⅱ)当ξTξ=1时,A是不可逆矩阵.
[简答题]若n阶矩阵A=(α1,α2,…,αn-1,αn)的前n-1个列向量线性相关,后n-1个列向量线性无关,β=α1+α2+…+αn,证明:
方程组AX=β必有无穷多解;
[简答题]已知A是n阶非零矩阵,且A中各行元素对应成比例,又α1,α2,…,αt是Ax=0的基础解系,β不是Ax=0的解.证明任一n维向量均可由α1,α2,…,αt,β线性表出.
[简答题]设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,E是n阶单位矩阵,其中n<m,若AB=E,证明:B的列向量组线性无关。
[简答题]设A、B为两个n阶矩阵,已知:(1)A有n个互异的特征值.(2)A的特征向量也是B的特征向量.
求证:AB=BA.