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[简答题]设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(c)=f(b),其中c是(a,b)内的一点,且在[a,b]内的任何区间,上f(x)不恒等于常数.求证:在(a,b)内至少存在一点f,使f"(ξ)<0.
[简答题]设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=1,[*].求证:对任何满足0<k<1的常数k,存在ξ∈(0,1),使f’(ξ)=-k.
[简答题]设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,且f"
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(a)>0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)<0.
[简答题]设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且存在相等的最大值,又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:
(Ⅰ) 存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η);
(Ⅱ) 存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ).
[简答题]假设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0,f(0))与B(1,f(1))的直线与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c)),其中0<c<1.
证明:在(0,1)内至少存在一点ξ,使f"(ξ)=0.
[简答题]设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,又设连接(a,f(a)),(b,f(b))两点的直线和曲线y=f(x)相交于点(c,f(c)),(a<c<b)。求证:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f"(ξ)=0。
[简答题]设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,f(0)=f(1)=0,对任意的x∈(0,1),f"(x)<0,且f(x)在[0,1]上的最大值为M>0,证明:对任何常数0<k<1,存在唯一的ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=kM.
[简答题]设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,且f’+(a)>0,证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(a)<0。
[简答题]设函数f(x)在[a,b]上一阶可导,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,f’(a)f’(b)>0.求证:
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[简答题]设f’(x)在[a,b]上一阶可导,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b),f’(a)f’(b)>0,证明:至少存在一点ξ∈(a,b),使f"(ξ)=0.
[简答题]设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导且f(a)=f(b).证明在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)>0.
[简答题]设f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,证明:在(a,b)内存在两点ξ,η,使得(e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η-ξ.
[简答题]设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f"’(ξ)=3.