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[单项选择]设f(x)在[a,+∞)内二阶可导,f
[简答题]设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,且f’+(a)>0,证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(a)<0。
[简答题]设f(x)在(-1,1)内二阶连续可导,且f"(x)≠0.证明:对(-1,1)内任一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使得f(x)=f(0)+xf"[θ(x)x];
[简答题]设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导,且f"(x)≥0,φ(x)是区间[a,b]上的非负连续函数,且∫
a
b
φ(x)dx=1.
证明:∫
a
b
f(x)φ(x)dx≥f[∫
a
b
xφ(x)dx].
[简答题]设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且存在相等的最大值,又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:
(Ⅰ) 存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η);
(Ⅱ) 存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ).
[简答题]设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(c)=f(b),其中c是(a,b)内的一点,且f(x)在[a,b]内的任何区间I上f(x)都不恒等于常数.求证:在(a,b)内至少存在一点ξ,使f"(ξ)<0.
[简答题]假设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0,f(0))与B(1,f(1))的直线与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c)),其中0<c<1.
证明:在(0,1)内至少存在一点ξ,使f"(ξ)=0.
[简答题]设f(x)在[0,1]上连续.
若f(x)为可导函数且满足(1-x)f’(x)>2f(x),证明ξ是唯一的.
[简答题](Ⅰ)设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)=f(b),且f(z)非常数函数。证明:存在ξ,η∈(a,b),使得f’(ξ)>0,f’(η)<0。
(Ⅱ)设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(x)非线性函数.证明:存在ξ∈(a,b),使得
[简答题]设f(x)在[-e,e]上连续,在x=0处可导,且f’(0)≠0.
求极限[*]
[简答题]设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证:
(Ⅰ) 存在ξ∈(0,1),使f(ξ)=1-ξ
(Ⅱ)存在两个不同的η,ζ∈(0,1),使f’(η)·f’(ζ)=1.
[简答题]设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0.
[简答题]设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=1,f(1)=0.求证:存在ξ∈(0,1)使
[*]
[简答题]设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=2,f(1)=0.求证:存在0<η<ζ<1,使得f’(η)f’(ζ)=4.
[简答题]设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(a>0),f(a)=f(b)=1.证明:存在ξ,η∈(a,b),使得
abeη-ξ=η2[f(η)-f’(η)].
[简答题]设f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f’(x)>0,存在。证明:
(Ⅰ) 在(a,b)内有f(x)>0;
(Ⅱ) 存在ξ∈r(a,b),使得
(Ⅲ) 存在η∈(a,b),使得
[简答题]设f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f’(x)>0,[*]存在。证明:
(Ⅰ) 在(a,b)内有f(x)>0;
(Ⅱ) 存在ξ∈r(a,b),使得[*]
(Ⅲ) 存在η∈(a,b),使得[*]
[简答题]设函数f(x),g(x)在[a,b]连续,在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值,又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:
存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ).