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[单项选择]设向量组(Ⅰ)是向量组(Ⅱ)的线性无关的部分向量组,则
(A) 向量组(Ⅰ)是向量组(Ⅱ)的极大线性无关组.
(B) 向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)的秩相等.
(C) 当向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示时,向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价.
(D) 当向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅰ)线性表示时,向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价.
[简答题]
已知R3的两组基α1=(1,0,-1)T,α2=(2,1,1)T,α3=(1,1,1)T与β1=(0,1,1)T,β2=(-1,1,O)T,β3=(1,2,1)T
(1)求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵;
(2)求γ=(9,6,5)T在这两组基下的坐标;
(3)求向量δ,使它在这两组基下有相同的坐标。
[单项选择]设向量组α1,α2,…,αs的秩为r1,向量组β1,β2,…,βt的秩为r2,且向量组α1,α2,…,αs可由向量组β1,β2,…,βt线性表出,则
(A) r1≥r2. (B) r1=r2.
(C) r1≤r2. (D) r1<r2.
[单项选择]设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中,线性无关的向量组是()。
A. α1+α2,α2+α3,α3-α1
B. α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3
C. α1+2α2,α2+2α3,α3+α1
D. α1+α2,2α2+α3,α1+3α2+α3
[多项选择]确定常数a,使向量组α1=(1,1,a)T,α2=(1,a,1)T,α3=(a,1,1)T可由向量组β1=(1,1,a)T,β2=(-2,a,4)T,β3=(-2,a,a)T线性表示,但是向量组β1,β2,β3不能由向量组α1,α2,α3线性表示.
[简答题]确定常数a,使向量组a1=(1,1,a)T,a2=(1,a,1)T,a3=(a,1,1)T可由向量组β1===(1,1,a)T,β2=(-2,a,4)T,β3=(-2,a,a)T线性表示,但向量组β1,β2,β3不能由向量组a1,a2,a3线性表示.
[填空题]已知向量组α1=(1,-2,3)T,α2=(3,0,1)T,α3=(1,4,-5)T与向量组β1=(a,2,0)T,β2=(1,b,1)T,β3=(2,-3,-2)T具有相同的秩,且β1可以由α1,α2,α3线性表出,则a=______,b=______.
[简答题]已知向量组β1=[0,1,-1]T,β2=[a,2,1]T,β3=[b,1,0]T与向量组α1=[1,2,-3]T,α2=[3,0,1]T,α3=[9,6,-7]T具有相同的秩,且α1,α2,α3可由β3线性表出,求a,b的值.
[单项选择]向量组β1=(0,1,-1)T,β2=(x,2,1)T,β3=(y,1,0)T与向量组α1=(1,2,-3)T,α2=(3,0,1)T,α3=(9,6,-7)T有相同的秩,且β3可由α1,α2,α3线性表示,则x,y的值为______
A. x=12,y=4
B. x=15,y=5
C. x=-12,y=-4
D. x=-15,y=-5
[单项选择]设向量组α1,α2,…,αs(s≥2)线性无关,向量组β1,β2,…,βs能线性表示向量组α1,α2,…,αs,则下列结论中不能成立的是
(A) 向量组β1,β2,…,βs线性无关.
(B) 对任一个αj(1≤j≤s),向量组β1,β2,…,βs线性相关.
(C) 存在一个αj(1≤j≤s),使得向量组β1,β2,…,βs线性无关.
(D) 向量组α1,α2,…,αs与向量组β1,β2,…,βs等价.
[单项选择]n维向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αs和向量组(Ⅱ):β1,β2,…,βt等价的充分必要条件是
A. 秩r(Ⅰ)=r(Ⅱ)且s=t.
B. r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=n.
C. 向量组(Ⅰ)的极大无关组与向量组(Ⅱ)的极大无关组等价.
D. 向量组(Ⅰ)线性无关,向量组(Ⅱ)线性无关且s=t.
[简答题]设向量组α
1
,α
2
,…,α
n一1
为n维线性无关的列向量组,且与非零向量β
1
,β
2
正交.证明:β
1
,β
2
线性相关.
[简答题]设α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βt是两个线性无关的n维向量组,证明:向量组α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ,γ既可由α1,α2,…,αs线性表出,也可由β1,β2,…,βt线性表出.
[简答题](1)设n维向量组(Ⅰ)α1,α2,…,αs,(Ⅱ)β1,β2,…,βt,证明:向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)是等价向量组的充分必要条件是r(α1,α2,…,αs)=r(α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt)=r(β1,β2,…,βt);
(2)设向量组α1=(1,-2,1)T,α2=(2,1,5)T,α3=(3,-1,6)T;向量组β1=(-2,1+a,4)T,β2=(1,3,4)T,问a为何值时向量组α1,α2,α3与向量组β1,β2,β3是等价向量组;a为何值时,不是
[单项选择]设向量组α1,α2,α3线性无关,则线性无关的向量组是()。
A. α1-α2,α3-α1,α2-α3
B. α1-α2,2α2+3α3,α1+α3
C. α1-α2,2α2+α3,α1+α2+α3
D. α1-α2+α3,2α1+α2-3α3,8α1+α2-7α3
[单项选择]设有两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βt,且r(α1,α2,…,αs)=r(β1,β2,…,βt),则下列结论正确的是
(A) 两个向量组等价.
(B) 当α1,α2,…,αs能由β1,β2,…,βt线性表出时,两个向量组等价.
(C) 当s=t时,两个向量组等价.
(D) 当r(α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt)=r(α1,α2,…,αs)+r(β1,β2,…,βt)时,两向量组等价.
[单项选择]设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中线性无关的是()。
A. α1+α2,α2+α3,α3-α1
B. α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3
C. α1+2α2,2α2+3α3,3α3+α1
D. α1+α2+α3,2α1-3α2+22α3,3α1+5α2-5α3
[单项选择]设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表示,但不能由向量组(Ⅰ)α1,α2,…,αm-1线性表示,记向量组(Ⅱ)α1,α2,…,αm-1,β,则()。
A. αm不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示
B. αm不能由(Ⅰ)线性表示,但可能由(Ⅱ)线性表示
C. αm可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示
D. αm可由(Ⅰ)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示