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[简答题]设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n阶实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)=n．
[单项选择]设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，Q为n阶正交矩阵，则下列矩阵与A有相同特征值的是
(A) B-1QTAQB． (B) (B-1)TQTAQB-1．
(C) BTQTAQB． (D) BQTAQ(BT)-1．
[单项选择]设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．
A. r(A)=r(B)
B. ｜A｜=｜B｜
C. A～B
D. A，B与同一个实对称矩阵合同
[单项选择]n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．
A. A无负特征值
B. A是满秩矩阵
C. A的每个特征值都是单值
D. A
*
是正定矩阵
[简答题]
设A为m阶实对称矩阵，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B) =n．
[单项选择]设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P
一1
AP)
T
属于特征值λ的特征向量是( )
A. P
一1
α。
B. P
T
α。
C. Pα。
D. (P
一1
)
T
α。
[简答题]设A，B都是n阶实对称矩阵，其中A是正定矩阵，证明存在实数t使得tA+B是正定矩阵．
[简答题]设A是n阶实对称矩阵，证明秩r(A)=n的充分必要条件是存在n阶矩阵B，使AB+BTA是正定矩阵．
[单项选择]设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，α是A的属于特征值λ的特征向量，那么矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是（）。
A. α
B. PTα
C. P-1α
D. Pα
[简答题]证明：若A为n阶实对称矩阵，且A2=0，则A=0．
[填空题]已知A是四阶实对称矩阵，秩r(A)=3，矩阵A满足A
4
-A
3
-A
2
-2A=0则与A相似的对角矩阵是______．
[填空题]设A为n阶实对称矩阵，B，C为n阶矩阵，已知(A-E)B=0，(A+2E)C=0，r(B) +r(C) =n，且r(B) =r，则二次型xTAx的标准形为______．
[填空题]已知A是四阶实对称矩阵，秩r(A)=3，矩阵A满足A4-A3-A2-2A=O则与A相似的对角矩阵是______．
[单项选择]设A是三阶实对称矩阵，λ1，λ2，λ3是3个非零特征值，且满足a≥λ1≥λ2≥λ3≥b．若kA+E为正定矩阵，则参数k应满足（）。
A. k＞-1/a
B. k＞a
C. k＞b
D. k＜-1/b
[填空题]设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量，则矩阵B=A-λ1ααT的两个特征值为______．
[简答题]设A是秩为r的n阶实对称矩阵，满足
A4-3A3+3A2-2A=0．
那么，矩阵A的n个特征值是______．
[简答题]设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ
1
=λ
2
=6是A的二重特征值．若α
1
=(1，1，0)
T
，α
2
=(2，1，1)
T
，α
3
=(一1，2，一3)
T
都是A的属于特征值6的特征向量．求矩阵A．
