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[单项选择]设A,B为n阶实对称矩阵,则A,B合同的充分必要条件是( )
A. A与B相似
B. r(A)=r(B)
C. A,B的正惯性指数相同
D. A,B与同一个对角阵合同
[单项选择]设A,B为n阶实对称矩阵,则A与B合同的充分必要条件是( ).
A. r(A)=r(B)
B. |A|=|B|
C. A~B
D. A,B与同一个实对称矩阵合同
[简答题]设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n阶实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)=n.
[简答题]设A为n×n实对称矩阵,证明:r(A) =n的充分必要条件是存在n×n实矩阵B,使得AB+BTA正定,其中BT为B的转置.
[简答题]设A是n阶正定矩阵,E是n阶单位阵,证明A+E的行列式大于1.
[单项选择]设n阶矩阵A与B相似,E为n阶单位矩阵,则( )
A. λE一A=λE—B。
B. A与B有相同的特征值和特征向量。
C. A和B都相似于一个对角矩阵。
D. 对任意常数t,tE一A与tE一B相似。
[简答题]设A是n阶正定矩阵,证明:|E+A|>1.
[单项选择]已知A,B均为n阶正定矩阵,则下列结论不正确的是
(A) A+B,A-B,AB是正定矩阵.
(B) AB的特征值全大于零.
(C) 若AB=BA,则AB是正定矩阵.
(D) 对任意正常数k与l,kA+lB为正定矩阵.
[单项选择]设A,B为n阶矩阵,且A与B相似,E为n阶单位矩阵,则( ).
A. λE-A=λE-B
B. A与B有相同的特征值和特征向量
C. A与B都相似于一个对角矩阵
D. 对任意常数t,tE-A与tE-B相似
[简答题]设A为n阶正定矩阵,B为n×m矩阵,试证:
(Ⅰ)r(B)=r(BTAB):
(Ⅱ)BTAB正定的充分必要条件为r(B)=m.
[单项选择]设A为n阶矩阵,且满足等式A2=A,E为n阶单位矩阵,则下列结论正确的是
A. r(A)+r(A-E)<n.
B. r(A)+r(A-E)=n.
C. r(A)+r(A-E)>n.
D. r(A)+r(A-E)不定.
[简答题]若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量,证明A是数量矩阵(即A=kE,E是n阶单位矩阵).
[填空题]设n阶矩阵A满足AAT=E(E是n阶单位矩阵,AT是A的转置),则|A+E|=
[单项选择]设A为n阶实对称矩阵,B为n阶可逆矩阵,Q为n阶正交矩阵,则下列矩阵与A有相同特征值的是
(A) B-1QTAQB. (B) (B-1)TQTAQB-1.
(C) BTQTAQB. (D) BQTAQ(BT)-1.