[简答题]设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’(x)＞0．试证明：对于任何固定的λ＞0，必存在唯一的ξ_λ∈(a，b)，使曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ_λ)，x=a所围的面积S₁是曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ_λ)，x=b所围的面积S₂的λ倍：S₁=λS₂．

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[简答题]设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足
[*]
其中x∈[a，b]．试证明：[*]

[简答题]设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=λ，试证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使
f’(ξ)+f(ξ)=λ．

[简答题]已知函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．试证明：试确定常数a，b，使f(x)=x-(a+bcosx)sinx为当x→0时是关于x的5阶无穷小．

[简答题]设f(x)和g(x)在区间(a，b)内可导，并设在(a，b)内f(x)g’(x)-f’(x)≠0，证明在(a，b)内至多存在一点ξ，使得f(ξ)=0。

[单项选择]设f(x)在(a，b)内可微，且
f(a)=f(b)=0，f’(a)＜0，f’(b)＜0，则方程f’(x)=0在(a，b)内______．
A. 没有实根
B. 有且仅有一个实根
C. 有且仅有两个不等实根
D. 至少有两个不等实根

[简答题]设f(x)在[0，＋∞)内可导且f(0)＝1，f"(x)＜f(x)(x＞0)．证明：f(x)＜e ^x (x＞0)．

[简答题]设f(x)在[0，+∞)内可导且f(0)=1，f"(x) 0)．证明：f(x)x(x>0)．

[简答题]设f(x)在(－l，l)内可导，证明：如果f(x)是偶函数，那么fˊ(x)是奇函数，如果f(x)是奇函数，那么fˊ(x)是偶函数．

[单项选择]设f(x)在(-∞，+∞)内可导，且f’(x)+f(x)＞0，则下列命题正确的是
(A) f(x)=0必有实根． (B) f(x)=0必无实根．
(C) f(x)=0若有实根必唯一． (D) f(x)=0若有实根，则不止一个．

[简答题](Ⅰ)设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)，且f(z)非常数函数。证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0。 (Ⅱ)设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)非线性函数．证明：存在ξ∈(a，b)，使得

[简答题]设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，试证：
(Ⅰ) 存在ξ∈(0，1)，使f(ξ)=1-ξ
(Ⅱ)存在两个不同的η，ζ∈(0，1)，使f’(η)·f’(ζ)=1．

[简答题]设f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明：在(a，b)内存在两点ξ，η，使得(e^2a+e^a+b+e^2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e^3η-ξ．

[简答题]设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．

[简答题]设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=1，f(1)=0．求证：存在ξ∈(0，1)使
[*]

[简答题]设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=2，f(1)=0．求证：存在0＜η＜ζ＜1，使得f’(η)f’(ζ)=4．

[简答题]设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得
abe^η-ξ=η²[f(η)-f’(η)]．

[简答题]设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明：存在ξ，η∈(a，b)使得e^η-ξ[f(η)+f’(η)]=1．

[简答题]设f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f’(x)＞0，存在。证明： (Ⅰ) 在(a，b)内有f(x)＞0； (Ⅱ) 存在ξ∈r(a，b)，使得 (Ⅲ) 存在η∈(a，b)，使得

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