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[简答题]设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1),常数a>0与b>0.求证:存在满足0<ξ<η<1的ξ与η.使得af’(ξ)+bf’(η)=0.
[简答题]设f(x)与g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),求证:存在ξ∈(a,b),使得f’(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0.
[简答题]设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,又b>a>0.求证,[*],使得
[*]
[简答题](Ⅰ)设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)=f(b),且f(z)非常数函数。证明:存在ξ,η∈(a,b),使得f’(ξ)>0,f’(η)<0。
(Ⅱ)设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(x)非线性函数.证明:存在ξ∈(a,b),使得[*]
[简答题]设f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,证明:在(a,b)内存在两点ξ,η,使得(e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η-ξ.
[简答题]设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,证明:存在ξ,η∈(a,b)使得eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1.
[简答题]
设f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f’(x)>0,存在。证明:
(Ⅰ) 在(a,b)内有f(x)>0;
(Ⅱ) 存在ξ∈r(a,b),使得
(Ⅲ) 存在η∈(a,b),使得
[简答题]设f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f’(x)>0,[*]存在。证明:
(Ⅰ) 在(a,b)内有f(x)>0;
(Ⅱ) 存在ξ∈r(a,b),使得[*]
(Ⅲ) 存在η∈(a,b),使得[*]
[简答题]设不恒为常数的函数f(x)在闭区问[a,b]上连续,在开区问(a,b)内可导,且f(a)=f(b),证明:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)<0.
[简答题]设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,求证:至少存在一点ξ∈(0,1),使得(2ξ+1)f(ξ)+ξf’(ξ)=0.
[简答题]设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)f(1)<0.
求证:存在ζ∈(0,1)使得ζf’(ζ)+(4-ζ)2f(ζ)=0.
[简答题]设f(x)在[0,+∞)上连续,且f(0)>0,设f(x)在[0,x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数,求f(x).
[填空题]设f(x)在区间[-π,π]上连续且满足f(x+π)=-f(x),则f(x)的傅里叶系数a2n=______.(n=1,2,…)
[简答题]设f(x)在[0,1]可导,f(0)=0,f’(1)=0,求证:存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=f(ξ).
[单项选择]设f(t)为连续函数,a是常数,下述命题正确的是______
A. 若f(t)是奇函数,则
B. 若f(t)是偶函数,则
C. 若f(t)是奇函数,则
D. 若f(t)是偶函数,则