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[简答题]设A和B均是n阶非零方阵,且满足A2=A,B2=B,AB=BA=0.证明:
0和1必是A和B的特征值;
[简答题]设A,B均为n阶非零矩阵,且满足A2+A=0,B2+B=0,证明:
-1是A,B的特征值;
[简答题]设A,B均为n阶非零矩阵,且满足A2+A=0,B2+B=0,证明:
若AB=BA=0,ξ1,ξ2分别是A,B的对应于特征值λ=-1的特征向量,则ξ1,ξ2线性无关.
[简答题](Ⅰ) 设A,B均为n阶非零矩阵,且A2+A=0,B2+B=0,证明λ=-1必是矩阵A与B的特征值;
(Ⅱ) 若AB=BA=0,α与β分别是A与B属于特征值λ=-1的特征向量,证明向量组α,β线性无关.
[简答题](1)设A,曰均为n阶非零矩阵,且A2+A=B2+B=0,证明λ=-1必是矩阵A与B的特征值;
(2)若AB=BA=0,α与β分别是A与B属于特征值λ=-1的特征向量,证明向量组α,β线性无关.
[简答题]设A和B均为n阶方阵,且满足A2=A,B2=B,(A+B)2=A+B.证明AB=0.
[简答题]设B是可逆阵,A和B同阶,且满足A
2
+AB+B
2
=O.证明:A和A+B都是可逆阵,并求A
-1
和(A+B)
-1
.
[填空题]设A是主对角线元素之和为-5的三阶矩阵,且满足A2+2A-3E=0,那么矩阵A的三个特征值是______.
[填空题]设A、B为n阶方阵,其中A为可对角化矩阵且满足A2+A=O,B2+B=E,r(AB)=2,则行列式|A+2E|=______.
[简答题]已知A和B都是n阶非零矩阵,且A2+2A=0,B2+2B=0,
(1)证明λ=-2必是矩阵A和B的特征值;
(2)如果AB=BA=0,α1,α2分别是矩阵A和B关于λ=-2的特征向量,证明α1,α2线性无关;
(3)若秩r(A)=r,求A~A.
[简答题]设λ
0
为A的特征值.
(1)证明:A
T
与A特征值相等;
(2)求A
2
,A
T
+2A+3E的特征值;
(3)若|A|≠0,求A
-1
,A
*
,E—A
-1
的特征值.
[简答题]设A是n阶矩阵,λ是A的特征值,其对应的特征向量为X,证明:λ
2
是A
2
的特征值,X为特征向量.若A
2
有特征值λ,其对应的特征向量为X,X是否一定为A的特征向量说明理由.
[单项选择]设方阵A的特征值λ所对应的特征向量为ξ,那么A2+E以ξ作为特征向量所对应的特征值为( )。
A. ( λ
B. ( 2λ+1
C. ( λ2+1
D. ( λ2
[简答题]设A为3阶矩阵,a1,a2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量a3满足Aa3=a2+a3.
令P=(a1,a2,a3),求P-1AP.
[简答题]设A为3阶矩阵,a1,a2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量a3满足Aa3=a2+a3.
证明a1,a2,a3线性无关;
[单项选择]已知A2=A,则A的特征值为()。
A. 1
B. 2
C. 1或2
D. 1或0
[简答题]已知三阶方阵A的特征值为1,-1,2,设B=A3-5A2,求:
B的特征值及其相似对角矩阵;
[简答题]已知二维向量α不是二阶方阵A的特征向量。
若A2α+Aα-6α=0,求A的全部特征值,并判断A能否与对角矩阵相似。